☛ Bornitude et continuité

\(g\)  est une fonction bornée donc il existe deux réels \(m\)  et \(M\)  tels que, pour tout réel \(x\) , \(m\leqslant g(x)\leqslant M\) . \(f(x)\)  est un réel comme un autre donc, pour tout réel \(x\) ,   \(m\leqslant g\left(f(x)\right)\leqslant M\) .

Par conséquent, `g\circf`  est bornée sur \(\mathbb R\) .

On veut montrer que  `f\circg`  est bornée sur \(\mathbb R\) . Il s'agit de prouver qu'il existe deux réels \(m'\)  et \(M'\)  tels que, pour tout réel \(x\) , \(m'\leqslant f\left(g(x)\right)\leqslant M'\) .

Pour tout réel \(x\) , \(g(x)\in[m \ ;\ M]\) . La fonction \(f\)  est continue sur le segment \([m\ ;\ M]\)  donc elle est bornée sur ce segment. Il existe donc deux réels  \(m'\)  et \(M'\)  tels que, pour tout réel \(x\) ,   \(m'\leqslant f\left(g(x)\right)\leqslant M'\) .

Par conséquent,   `f\circg`  est bornée sur \(\mathbb R\) .